Числата на Фибоначи

От: Павлин Петков

p.petkov@investor.bg

Леонардо Писано, по прякор Фибоначи, е италиански математик, роден в Пиза. Тъй като баща му е дипломат, получава образованието си в Северна Африка, където учи математика и счетоводство. 

Фибоначи допринася за науката с така наречената числова редица на Фибоначи, която представлява геометрична прогресия. Тя се образува като всяко следващо число е сбор от предходните две. Началото на редицата е:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.н.

Фибоначи представя редицата си чрез задача за размножаване на зайци: мъжки и женски екземпляр могат да произведат за единица време (напр. един месец) нов чифт зайци, които продължават да се размножават (на новородения чифт зайци са му необходими два месеца, за да дадат първото си поколение, след което продължават да се размножават всеки месец). Колко е броят на чифтове зайци след определено време, ако те не умират? Отговорът представлява редицата на Фибоначи.

Подобни редици, при които всеки следващ израз (след даден момент) може да се представи като линейна комбинация от предходните изрази, се наричат рекурсивни редици. Редицата на Фибоначи е първата позната такава.

Редицата има някои важни особености. Всяко число в редицата разделено на предходното дава приблизително 1.618. За да бъдем по-точни, това съотношение вибрира около 1.618. Това отклонение е много по-голямо за първите стойности, отколкото за последните. Обратното на 1.618 е 0.618, което е съотношението на всяко число от редицата и следващото. 

Друга особеност е, че редуващите се числа сa обвързани едно с друго с коефициент 2.618 и чрез неговата инверсия 0.382. Ако някое число в редицата се раздели на число с две числа по-назад, резултатът е 2.618, докато ако се раздели на числото две места по-напред, резултатът е 0.382. Същата процедура може да се повтори между числа, които стоят доста отдалечени едно от друго. Тези, които са на 3 места едно от друго, дават съотношение 4.236 и обратно - 0.236 и т.н.

Има редица съотношения, които могат да се получават от редицата на Фибоначи, както и определени начини, по които тези съотношения могат да се обвържат: 

1 / 1.618 = 0.618

0.618 * 0.618 = 0.382

1.618 * 1.618 = 2.618

618. * 1.618 = 4.236

1 – 0.618 = 0.382

1.618 / 0.618 = 2.618

0.618 / 1.618 = 0.382 

Числото 1.618 е познато като златното сечение. Голямото значение на златното сечение става явно, когато се отнесе към геометрията. Всяка права линия може да се раздели така, че съотношението на по-малката част към по-голямата да е равно на съотношението между по-голямата и цялата линия. Това съотношение е винаги 1.618. Също така това съотношение може да се използва при построяването на така наречения “златен правоъгълник”, чиито страни се отнасят една към друга в съотношение 1.618.

Интересна особеност на златния правоъгълник е, че може да бъде разделен на квадрат и по-малък златен правоъгълник, както се вижда на фигурата. Теоретично този процес може да бъде продължен до безкрайност. Резултатът е поредица от постоянно смаляващи се квадрати, като площта на всеки от тях е пропорционално обвързана с площта на предходния със съотношението 1.618. Поредицата от квадрати буквално се движи спирално към безкрайност. Този спираловиден ефект може по-ясно да се изложи като се начертае непрекъсната линия, която свързва точките, където съседните квадрати се срещат един с друг на тяхната обща граница (A, C, E, G, I и т.н.). Показаният резултат е “Златна спирала”.

Златната спирала е логаритмична спирала и като такава тя има две отличителни характеристики. Първата е, че тя започва и свършва в безкрайността – следователно тя няма граници и нейния център никога не може да бъде достигнат. Втората е, че тя не променя своята форма – всяка права линия, изтеглена от центъра, пресича спиралата под един и същ ъгъл. Следователно на ъгъла между допирателната в коя да е точка и радиуса, изтеглен от центъра, е константна величина. Тъй като златната спирала е дефинирана чрез 1.618 и неговата противоположност 0.618, има две характеристики, които си заслужава да бъдат отбелязани. Първо, всеки радиус, изтеглен от теоретичния център на спиралата, е свързан с радиуса, който го предхожда на 90 градуса, с коефициент 1.618.

Редицата на Фибоначи се наблюдава в природата като последователността в подредбата на клоните на дърветата, листата, цветята, подредбата на годишните кръгове в сечението на дърветата, спиралната форма на черупките на охлювите и рапаните, в готическите катедрали, разстоянието между планетите и т.н.

Редицата на Фибоначи се прилага и във финансовите пазари, като най-важните съотношения се прилагат върху ценовите движения, както и на времевите интервали на тези движения. 

Цената никога не се движи в права линия, като често в корекциите могат да се открият съотношенията на Фиборачи. Това, разбира се, не се случва винаги, нито с абсолютна точност, но достатъчно често, за да му обърнем внимание.

Долният пример показва основен начин за използването на числата на Фибоначи. Най-често се използват съотношенията 0.382, 0,5 и 0,618.